ESPACIOS NULOS, ESPACIOS COLUMNA Y TRANSFORMACIONES LINEALES 

El espacio nulo de una matriz Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas:
 
   x1 − 3x2 − 2x3 = 0
 −5x1 + 9x2 + x3 = 0

En arreglo matricial, este sistema se escribe como Ax = 0, donde

A=    1  -3 -2

       -5   9   1

El espacio nulo de una matriz A de m × n, que se escribe Nul A, es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación homogénea Ax = 0. En notación de conjuntos,

Nul A = {x : x está en R^n y Ax = 0}

 El espacio nulo de una matriz A de m × n es un subespacio de R^n. De manera equivalente, el conjunto de todas las soluciones de un sistema Ax = 0 de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas es un subespacio de R^n.

DEMOSTRACIÓN

 Resulta evidente que Nul A es un subconjunto de R^n porque A tiene n columnas. Se debe mostrar que Nul A satisface las tres propiedades de un subespacio. Desde luego, 0 está en Nul A. Enseguida, sean u y v dos vectores cualesquiera de Nul A. Entonces 

Au=0  y Av=0 

Para mostrar que u + v está en Nul A, debe probarse que A(u + v) = 0. Mediante el uso de una propiedad de la multiplicación de matrices, se encuentra que 

A(u+v)=Au+ Av=0+0=0 

Entonces u + v está en Nul A, y Nul A es cerrado bajo la suma de vectores. Por último, si c es cualquier escalar, entonces 

A(cu)=c(Au)=c(0)=0 

lo cual demuestra que cu está en Nul A. Entonces Nul A es un subespacio de R^n. 

• Una descripción explícita de Nul A

Se dice que Nul A está definido implícitamente, porque se define mediante una condición que debe verificarse. No hay una descripción ni una lista explícita de los elementos contenidos en Nul A. Sin embargo, resolver la ecuación Ax = 0 equivale a producir una descripción explícita de Nul A

Es necesario mencionar dos aspectos de la solución del ejemplo  que son aplicables a todos los problemas de este tipo. 

1. El conjunto generador producido por el método del ejemplo es, en forma automática, linealmente independiente puesto que las variables libres son los pesos de los vectores generadores. Por ejemplo, observe las entradas segunda, cuarta y quinta del vector solución  y advierta que x2u + x4v + x5w puede ser 0 sólo si los pesos x2, x4 y x5 son todos cero. 

2. E l número de vectores presentes en el conjunto generador para Nul A es igual al número de variables libres en la ecuación Ax = 0.

• El espacio columna de una matriz

El espacio columna de una matriz A de m × n, se escribe Col A, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A. Si A = [a1 · · · an], entonces Col A = Gen{a1, . . . , an}

El espacio columna de una matriz A de m × n es un subespacio de R^m.

• El contraste entre Nul A y Col A

• Núcleo y rango de una transformación lineal

Los subespacios de espacios vectoriales distintos de Rn a menudo se describen en términos de transformaciones lineales, en vez de una matriz.

Una transformación lineal T de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W es una regla que asigna a cada vector x en V un único vector T(x) en W, de modo que

 (i) T(u + v) = T(u) + T(v) para todos u, v en V, y

 (ii) T(cu) = cT(u) para todo u en V y todos los escalares c.