SISTEMAS DE COORDENADAS

Una razón importante para especificar una base B para un espacio vectorial V es imponer un “sistema de coordenadas” sobre V

Suponga que el conjunto B = {b₁, . . . , b_n} es una base para V y que x está en V. Las coordenadas de x relativas a la base B (o las B-coordenadas de x) son los pesos c₁, . . . ,c_n tales que x = c₁b₁ + · · · + c_nb_n.

Ejemplo 1

Considere una base B = {b1, b2} para R2, donde b1 =  y b2=

Suponga que una x en R² tiene el vector de coordenadas [x] _B= =  . Encuentre x.

Solución

La B-coordenada de x indica cómo construir x a partir de los vectores en B. Esto es,

 x=(−2)b1 +3b2 =(−2)    +3    = 1 6

CAMBIO DE BASE

Cuando se elige una base B para un espacio vectorial V de dimensión n, la función de coordenadas asociada sobre Rⁿ proporciona un sistema de coordenadas para V. Cada x en V se identifica de manera única con su vector de B-coordenadas [x]B

TEOREMA: Matriz de cambio de coordenadas de B a C

 

El teorema establece que, para resolver el problema de cambio de coordenadas, se necesitan los vectores de coordenadas de la base anterior relativos a la base nueva.

Cambio de base en Rⁿ

 Si B = {b1, . . . , bn} y E es la base estándar {e1, . . . , en} en Rⁿ, entonces [b1]E = b1, y lo mismo es válido para los otros vectores en B. En este caso, P E←B es igual a la matriz de cambio de coordenadas P_B

PB=[b1 b2 ··· bn ]

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

Aunque una transformación x → Ax puede mover vectores en diversas direcciones, con frecuencia sucede que existen vectores especiales sobre los cuales la acción de A resulta muy sencilla.

Un vector propio de una matriz A de n × n es un vector x diferente de cero tal que Ax = λx para algún escalar λ. Un escalar λ se llama valor propio de A si existe una solución no trivial x de     Ax = λx; una x como ésta se denomina vector propio correspondiente a λ.

Es fácil determinar si un vector dado es un vector propio de una matriz. También resulta sencillo decidir si un escalar específi co es un valor propio.

Por definición, un vector propio debe ser distinto de cero, pero un valor propio sí puede ser cero.

Ejemplo

Muestre que 7 es un valor propio de A en el ejemplo 2, y encuentre los vectores propios correspondientes.

Solución El escalar 7 es un valor propio de A si, y sólo si, la ecuación A x = 7x (1)

Tiene una solución no trivial. Pero (1) es equivalente a Ax − 7x = 0, o bien ( A − 7I)x = 0 (2)

7 es un valor propio de A. Para encontrar los vectores propios correspondientes, use operaciones por fila de la matriz resultante de hacer  ( A − 7I) aumentada con ceros

El espacio propio consiste en los vectores cero y en todos los vectores propios correspondientes a λ.

TEOREMA 1.- Los valores propios de una matriz triangular son las entradas de su diagonal principal.

El escalar λ es un valor propio de A si, y sólo si, la ecuación (A − λI)x = 0 tiene una solución no trivial; esto es, si, y sólo si, la ecuación tiene una variable libre. Debido a las entradas cero en A − λI, es fácil ver que (A − λI)x = 0 tiene una variable libre si, y sólo si, por lo menos una de las entradas en la diagonal de A − λI es cero. Esto pasa si, y sólo si, λ es igual a alguna de las entradas a11, a22, a33 de A.

TEOREMA 2.- Si v1, . . . , vr son vectores propios que corresponden a distintos valores propios λ1, . . . , λr de una matriz A de n × n, entonces el conjunto {v1, . . . , vr} es linealmente independiente.

Ejercicios anexos