1.2 REDUCCIÓN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS 

Una matriz escalonada satisface las siguientes condiciones 

1.La entrada principal de cada fila distinta de cero es 1

2.Cada 1 principal es la única entrada distinta de cero en su columna

Ejemplo 

 Las siguientes matrices están en forma escalonada. Las entradas principales (■) pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener cualquier valor (incluso cero).

Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida porque las entradas principales son números 1, y abajo y arriba de cada 1 principal sólo existen ceros.

Nota:Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por filas 

• Algoritmo de reducción por filas.-Este algoritmo consta de 5 pasos y nos produce una matriz escalonada

PASO 1 Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra más a la izquierda. En este caso es una columna pivote. La posición pivote está en la parte superior.

PASO 2 Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posición pivote.

PASO 3 Use operaciones de reemplazo de fila para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote.

PASO 4 Cubra (o no tome en cuenta) la fila que contiene la posición pivote y cubra todas las filas, si existe alguna, por encima de ésta. Aplique los pasos 1, 2 y 3 a la submatriz restante. Repita el proceso hasta que no haya más fi las distintas de cero por modificar.

PASO 5 Empiece con el pivote situado más a la derecha trabajando hacia arriba y a la izquierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hágalo 1 mediante una operación de escalamiento.

Teorema de existencia y unicidad 

Un sistema lineal es consistente si, y sólo si, la columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote —esto es, si, y sólo si, una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma

 [0 … 0 b]         con b diferente de cero.

Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solución contiene

 (i) una solución única, cuando no existen variables libres, o bien

 (ii) un número infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.

Ejercicios Anexos