1.4 LA ECUACIÓN MATRICIAL Ax = b

Si Ax, es la combinación lineal de las columnas de A utilizando las correspondientes entradas en x como pesos

Ax= x1a1 + x2a2 +···+ xnan



La ecuación Ax = b tiene una solución si, y sólo si, b es una combinación lineal de las columnas de A.

   Por su parte la ecuación a continuación mostrada tiene la forma Ax = b. Una ecuación como ésta se denomina ecuación matricial.

Teorema 1:  Si A es una matriz de m × n, con columnas a1, . . . , an, y si b está en R^m , la ecuación matricial

 Ax=b 

tiene el mismo conjunto solución que la ecuación vectorial

 x1a1 + x2a2 +···+ xnan =b 

 la cual, a su vez, tiene el mismo conjunto solución que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es

 [a1 a2 ··· an b]

Teorema 2: Sea A una matriz de mx n. Entonces, las siguientes afirmaciones son lógicamente equivalentes. Esto es, para una A en particular, todas estas afirmaciones son verdaderas o todas son falsas.

 a. Para cada b en R^m , la ecuación Ax=b tiene una solución. 

 b. Cada b en R^m  es una combinación lineal de las columnas de A.

 c. Las columnas de A generan R^m 

 d. A tiene una posición pivote en cada fila.

Cálculo de Ax 

• REGLA DEL VECTOR FILA PARA CALCULAR Ax: Si el producto Ax está definido, entonces la entrada i-ésima de Ax es la suma de los productos de las entradas correspondientes de la fila i de A y del vector x.

Propiedades del producto matriz-vector Ax

 Si A es una matriz de m × n, u y v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces 

 a. A(u + v) = Au + Av;

 b. A(cu) = c(Au)

Ejercicios Anexos