DIMENSIÓN Y RANGO

Si B = {b1, . . . , bp} es una base para H, entonces la función x → [x]_B es una correspondencia uno a uno que permite a H verse y funcionar igual que Rp (aunque los propios vectores de H puedan tener más de p entradas).

La dimensión de un subespacio

La dimensión de un subespacio H diferente de cero, denotada mediante dim H, es el número de vectores que hay en cualquier base de H. La dimensión del subespacio cero {0} es, por defi nición, cero

 << El subespacio cero no tiene base (porque el vector cero forma, por sí mismo, un conjunto linealmente dependiente).>>

Para encontrar la dimensión de Nul A, basta con identificar y contar el número de variables libres en Ax = 0.

RANGO.- El rango de una matriz A, denotado mediante rango A, es la dimensión del espacio columna de A. Como las columnas pivote de A forman una base para Col A, el rango de A es simplemente el número de columnas pivote en A.

* Si una matriz A tiene n columnas, entonces rango A + dim Nul A = n.

BASE.-  Sea H un subespacio p-dimensional de Rⁿ. Cualquier conjunto linealmente independiente de exactamente p elementos en H automáticamente es una base de H. También, cualquier conjunto de p elementos de H que genere H es automáticamente una base para H.

Rango y el teorema de la matriz invertible

 Los diversos conceptos de espacio vectorial asociados con una matriz proporcionan varios enunciados más para el teorema de la matriz invertible. Estos enunciados se presentan enseguida como una continuación del teorema original

El teorema de la matriz invertible (continuación) Sea A una matriz n × n. Entonces, cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al enunciado de que A es una matriz invertible.

m. Las columnas de A forman una base de Rn.

 n. Col A = Rⁿ.

o. dim Col A = n.

p. rango A = n.

q. Nul A = {0}.

 r. dim Nul A = 0.