SUBESPACIOS DE Rⁿ

Un subespacio de Rⁿ es cualquier conjunto H en Rn que tiene tres propiedades:

 a. El vector cero está en H.

b. Para cada u y v en H, la suma u + v está en H.

c. Para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Dicho de otra manera es un  subespacio es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. Por ejemplo, un plano que pasa por el origen es la manera estándar de visualizar el subespacio

·         Ejemplo 1:

“Si v1 y v2 están en Rⁿ y H = Gen{v1, v2}, entonces H es un subespacio de Rn. Para verifi car este enunciado, observe que el vector cero está en H (porque 0v + 0u es una combinación lineal de u y v). Ahora tome dos vectores arbitrarios en H, por ejemplo

u=s1v1 + s2v2  y v=t1v1 + t2v2

Entonces,

u+v=(s1 + t1)v1 + (s2 + t2)v2

lo cual muestra que u + v es una combinación lineal de v1 y v2 y, por lo tanto, está en H. Asimismo, para cualquier escalar c, el vector cu está en H, porque cu = c(s1v1 + s2v2) = (cs1)v1 + (cs2)v2.

Si v1 no es cero, y si v2 es un múltiplo de v1, entonces v1 y v2 simplemente generan una línea a través del origen. Por lo tanto, una línea a través del origen es otro ejemplo de un subespacio.

Nota: Una línea L que no pasa por el origen no es un subespacio, porque no contiene al origen

Espacio columna

Es el conjunto Col A de todas las combinaciones lineales de las columnas de A.

Espacio nulo de una matriz

Es el conjunto Nul A de todas las soluciones posibles para la ecuación homogénea Ax = 0.

Teorema

El espacio nulo de una matriz A de m × n es un subespacio de Rⁿ. De manera equivalente, el conjunto de todas las soluciones posibles para un sistema Ax = 0 de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas es un subespacio de Rⁿ.

Bases para un subespacio .- Una base para un subespacio H de Rⁿ es un conjunto linealmente independiente en H que genera H.

Un subespacio contiene un número infinito de vectores, algunos problemas                    relacionados  con subespacios se manejan mejor trabajando con un conjunto finito y pequeño de vectores que genera el subespacio. Entre más pequeño sea el conjunto, mejor. Es posible demostrar que el conjunto generador más pequeño debe ser linealmente independiente.

Nota:La determinación de una base para el espacio columna de una matriz es mas facil que encontrar una base para el espacio nulo.

Teorema: Las columnas pivote de una matriz A forman una base para el espacio columna de A.

Ejercicios Anexos