ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

Espacios Vectoriales

Son un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares que cumples las siguientes propiedades 

 1. La suma de u y v, denotada mediante u + v, está en V.

 2. u + v = v + u. 

3. (u + v) + w = u + (v + w). 

4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u. 

5. Para cada u en V, existe un vector −u en V tal que u + (−u) = 0. 

6. El múltiplo escalar de u por c, denotado mediante cu, está en V. 

7. c(u + v) = cu + cv. 

8. ( c + d)u = cu + du.

 9. c (du) = (cd)u. 

10. 1u = u.

Para cada u en V y escalar c, 

0 u = 0 (1)

 c 0 = 0 (2)

 −u = (−1)u 

Para n ≥ 0, el conjunto P_n de polinomios de grado n o menor consiste en todos los polinomios de la forma p(t)=a₀ + a ₁t+ a₂t₂ +···+ a_nt_n  donde los coeficientes a₀, . . . , a_n y la variable t son números reales. El grado de p es la mayor potencia de t en cuyo coeficiente no es cero. Si p(t) = a₀ ≠ 0, el grado de p es cero.

Si todos los coeficientes son cero, p es el polinomio cero. El polinomio cero está incluido en P_n aun cuando su grado, por razones técnicas, no esté definido. Si p está dado por , y si q(t) = b₀ + b₁t + · · · + b_ntⁿ, entonces la suma p + q se define mediante

 (p+q)(t) =p(t) +q(t) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)t +···+ (a_n + b_n)tⁿ

El múltiplo escalar cp es el polinomio definido por

(cp)(t)=cp(t)=ca₀ + (ca₁)t +···+ (ca_n)tⁿ

Subespacios   Vectoriales

Es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:

 a. El vector cero de V está en H.² 

 b.  H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
 c.  H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Las propiedades (a), (b) y (c) garantizan que un subespacio H de V es en sí mismo un espacio vectorial

Así, todo subespacio es un espacio vectorial. De manera recíproca, todo espacio vectorial es un subespacio (de sí mismo o posiblemente de espacios mayores). El término subespacio es usado cuando se consideran por lo menos dos espacios, con uno dentro de otro, y la frase subespacio de V identifi ca a V como el espacio más grande.

El conjunto que consta de únicamente el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, llamado subespacio cero y que se escribe como {0}. 

 El espacio vectorial R² no es un subespacio de R³ porque R² ni siquiera es un subconjunto de R³. (Todos los vectores en R³ tienen tres entradas, mientras que los vectores en R² tienen sólo dos.) El conjunto

es un subconjunto de R³ que “se ve” y “actúa” como R², aunque es lógicamente distinto de R²

Un subespacio generado por un conjunto

 Si v1, . . . , vp están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v1, . . . , vp} es un subespacio de V.

A Gen{v1, . . . , vp} se le llama el subespacio generado por {v1, . . . , vp}. Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto generador para H es un conjunto {v1, . . . , vp} en H tal que H = Gen{v1, . . . , vp}. 

Ejemplo

Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma (a − 3b, b − a, a, b), donde a y b son escalares arbitrarios. Esto es, sea H = {(a − 3b, b − a, a, b): a y b en R}. Demuestre que H es un subespacio de R^4

Solución Escriba los vectores de H como vectores columna. Entonces un vector arbitrario en H tiene la forma 

Ejercicios Anexos