1.3 ECUACIONES VECTORIALES

 El término vector se usará para denotar una lista de números

• Vectores en R²

Una matriz con una sola columna se llama vector columna.El conjunto de todos los vectores con dos entradas se denota mediante R² (lea “r-dos”).R representa el conjunto de los números reales que aparecen como entradas en los vectores, el exponente 2 indica que cada vector contiene dos entradas.

• Descripciones geométricas de R²

Se puede considerarse a R² como el conjunto de todos los puntos en el plano.
La suma de dos vectores tiene una representación geométrica útil. La siguiente regla puede verifi carse por medio de geometría analítica.

REGLA DEL PARALELOGRAMO PARA LA SUMA
 Si u y v en R² se representan como puntos en el plano, entonces u v corresponde al cuarto vértice del paralelogramo cuyos otros vértices son u, 0 y v. 

• Vectores en R³

 son matrices columna de 3 × 1 con tres entradas. Se representan geométricamente por medio de puntos en un espacio coordenado de tres dimensiones

• Vectores en  Rⁿ

Si n es un entero positivo,  Rⁿ (lea “r-n”) denota la colección de todas las listas (o n-adas ordenadas) de n números reales, escritas, por lo general, como matrices columna de n × 1 

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE Rⁿ

  Para todos u, v y w en Rⁿ y todos los escalares c y d:

 (i) u +  v = v + u                         (v) c(u + v) = cu + cv

(ii) (u + v)+ w = u + (v + w)        (vi) (c + d)u = cu + du 

(iii) u + 0 = 0 + u = u                   (vii) c(du) = (cd)(u) 

(iv) u + (- u) = - u + u = 0,              (viii) 1u = u.  

 donde -u denota a ( -1)u

Combinaciones Lineales 

Dados  los vectores v_1,v₂,……v_p en Rⁿ y los escalares c_1,c₂,……c_{p el vector y definido por}

^{y=c1v1 +···+ cpvp}

  

Se llama combinación lineal de  v_1,v₂,……v_{p con pesos}  c_1,c₂,……c_{p La propiedad (ii) enunciada anteriormente permite omitir los paréntesis cuando se forma una combinación lineal de este tipo. En una combinación lineal, los pesos pueden ser cualesquiera números reales, incluso el cero}

Si v1, . . . , vp están en Rⁿ , entonces el conjunto de todas las combinaciones linea-les de v1, . . . , vp se denota mediante Gen{v1, . . . , vp} y recibe el nombre de subespacio de Rn generado por v1, . . . , vp. Esto es, Gen{v1, . . . , vp} es la colección de todos los vectores que pueden escribirse en la forma

 c1v1+ c2v2+ ∙ ∙ ∙ + cpvp

donde c1, . . . , cp son escalares.

_{Una descripción geométrica de Gen{v} y Gen{u, v}}

_{Sea v un vector diferente de cero en R³. Entonces Gen{v} es el conjunto de todos los múltiplos escalares de v, y se visualiza como el conjunto de puntos sobre la línea en R3 que pasa por v y 0.}

_{Si u y v son vectores diferentes de cero en R³, y v no es un múltiplo de u, entonces Gen{u, v} es el plano en R³ que contiene a u, v y 0. En particular, Gen{u, v} contiene la línea en R³ que pasa por u y 0 y la línea que pasa por v y 0.} 

_{Ejercicios Anexos}